Okulda çarpmayı öğrenirken çarpma işleminin mantığını da öğrenmiştik. Örneğin 3 x 5 işleminin 3 tane 5 anlamına geldiği öğretilmişti (5 + 5 + 5). İlerleyen yıllarda hayatımıza negatif sayılar girdi. Fakat negatif sayı içeren çarpma işlemlerinin mantığı bize öğretilmedi. Sadece negatif sayılar ile çarpma işlemlerinin kuralları ezberletildi. pozitif x negatif = negatif, negatif x pozitif = negatif ve negatif x negatif = pozitif. Bu makalemde bu işlemlerinin mantığından ve matematiksel olarak ispatlarından bahsedeceğim.

Pozitif x Pozitif, Pozitif x Negatif

Bahsettiğim gibi 3 x 5 'in 3 tane 5 olduğunu biliyoruz. Yani pozitif iki sayının çarpımı için herhangi bir sorunumuz yok. Benzer olarak 3 x (-5) için de aynı şeyi söyleyebiliriz, 3 x (-5) = 3 tane -5 demektir. Yani pozitif ve negatif çarpımı için de bir sorunumuz yok.

Negatif x Pozitif

Peki (-3) x 5 işlemini nasıl yorumlarız? -3 tane 5 diyemeyiz. Çünkü birşeyin miktarından bahsederken asla eksi kullanmayız. Bu nedenle mantıksal olarak bu ifadenin hiçbir anlamı yoktur. Fakat işlemi çarpmanın özelliklerinden yararlanarak anlamlı hale getirebiliriz. 3 x 5 aynı zamanda 5 x 3 'tür. Yani çarpma işlemindeki rakamlar yer değiştirirse sonuç değişmez. Bu nedenle (-3) x 5 işlemi 5 x (-3) işlemine eşittir. Bu işlem için 5 tane -3 diyebiliriz. Böylece işleme mantıksal bir anlam kazandırabilir ve bu mantık doğrultusunda sonuca ulaşabiliriz.

Negatif x Negatif

(-3) x (-5) işlemini mantıksal olarak yorumlamak önceki işlemler kadar kolay değildir. Daha önce bahsettiğim gibi -3 tane -5 diyemeyiz. Rakamların yerini değiştirsek bile (-5) x (-3) işlemini elde ederiz ki sonuç değişmez fakat mantıksal olarak yine -5 tane -3 diyemeyiz. Bu nedenle ilk olarak bazı kabuller yapalım ve iki negatif sayının çarpımının pozitif bir sayı olduğunu matematiksel olarak ispatlayalım.

(-3) x (-5) işleminin yer alacağı başka bir eşitliğe bakalım.

-3 + 3 = 0 (İşlemini ele alalım)
-3  + 3 = 0 (Eşitliğin iki tarafını -5 ile çarpalım)
-5(-3 + 3) = -5x0 (Parantezi açalım)
(-5) x (-3) + (-5) x 3 = 0 (Daha önce bahsettiğim gibi (-5) x 3 = 3 x (-5) yani 3 tane -5 'tir = -15)
(-3) x (-5) + (-15) = 0
(-3) x (-5) = 15

Gördüğünüz gibi iki negatif sayı çarpımının bir pozitif sayı olduğunu basit matematiksel işlemler ile kanıtlayabildik. Peki bu işlemi nasıl anlamlandırabiliriz. Şimdiye kadar öğrendiğimiz mantık sistemi negatif iki sayının çarpımını açıklayamamaktadır. Bunun için negatif - pozitif ne olursa olsun her çarpım işlemini anlamlı hale getiren farklı bir mantık sistemine göz atmamız gerekiyor.

Bu sistem sayı doğrusudur.

Bu sistem üzerinde, sıfır noktasında durduğumuzu düşünerek 2x3 işlemini anlamlandıralım. İlk sayı pozitif olduğu için yüzümüzü + yöne çevirelim. İkinci sayı da pozitif olduğundan ileriye doğru hareket edelim. Hareket doğrultularını bulduğumuza göre (artı yöne ve ileriye) sayıların eksi veya artı olduğuna bakmadan çarpma işlemini yapalım ve kaç adım atmamız gerektiğini bulalım (Her adımda 1 birim yol katediyoruz). 2x3 = 6. Yani sonucu bulmak için artı yöne ve ileriye doğru 6 adım atmamız gerekiyor. Son bulunduğumuz yere bakarsak sonucun + 6 olduğunu görürüz.

-2x3 işlemini yapalım.

2x-3 işlemi

Son olarak -2x-3 işlemini yapalım.

Gördüğünüz gibi mantık sistemini sayı doğrusu üzerine kurarsak bütün çarpma işlemleri anlamlı hale gelmekte ve matematiksel ispatın yanında mantıksal olarak da neden negatif iki sayının çarpımı pozitiftir sorusu cevaplanabilmektedir.