Sihirli Fasulyeler
Yükleniyor...
Negatif İki Sayının Çarpımı Neden Pozitiftir?
 Bilim   6357   14.11.19   14.11.19   5
eksicarpieksi.jpg

Okulda çarpmayı öğrenirken çarpma işleminin mantığını da öğrenmiştik. Örneğin 3 x 5 işleminin 3 tane 5 anlamına geldiği öğretilmişti (5 + 5 + 5). İlerleyen yıllarda hayatımıza negatif sayılar girdi. Fakat negatif sayı içeren çarpma işlemlerinin mantığı bize öğretilmedi. Sadece negatif sayılar ile çarpma işlemlerinin kuralları ezberletildi. pozitif x negatif = negatif, negatif x pozitif = negatif ve negatif x negatif = pozitif. Bu makalemde bu işlemlerinin mantığından ve matematiksel olarak ispatlarından bahsedeceğim.

 

Pozitif x Pozitif, Pozitif x Negatif

Bahsettiğim gibi 3 x 5 'in 3 tane 5 olduğunu biliyoruz. Yani pozitif iki sayının çarpımı için herhangi bir sorunumuz yok. Benzer olarak 3 x (-5) için de aynı şeyi söyleyebiliriz, 3 x (-5) = 3 tane -5 demektir. Yani pozitif ve negatif çarpımı için de bir sorunumuz yok.

 

Negatif x Pozitif

Peki (-3) x 5 işlemini nasıl yorumlarız? -3 tane 5 diyemeyiz. Çünkü birşeyin miktarından bahsederken asla eksi kullanmayız. Bu nedenle mantıksal olarak bu ifadenin hiçbir anlamı yoktur. Fakat işlemi çarpmanın özelliklerinden yararlanarak anlamlı hale getirebiliriz. 3 x 5 aynı zamanda 5 x 3 'tür. Yani çarpma işlemindeki rakamlar yer değiştirirse sonuç değişmez. Bu nedenle (-3) x 5 işlemi 5 x (-3) işlemine eşittir. Bu işlem için 5 tane -3 diyebiliriz. Böylece işleme mantıksal bir anlam kazandırabilir ve bu mantık doğrultusunda sonuca ulaşabiliriz.

 

Negatif x Negatif

(-3) x (-5) işlemini mantıksal olarak yorumlamak önceki işlemler kadar kolay değildir. Daha önce bahsettiğim gibi -3 tane -5 diyemeyiz. Rakamların yerini değiştirsek bile (-5) x (-3) işlemini elde ederiz ki sonuç değişmez fakat mantıksal olarak yine -5 tane -3 diyemeyiz. Bu nedenle ilk olarak bazı kabuller yapalım ve iki negatif sayının çarpımının pozitif bir sayı olduğunu matematiksel olarak ispatlayalım.

 

(-3) x (-5) işleminin yer alacağı başka bir eşitliğe bakalım.

 
-3 + 3 = 0 (İşlemini ele alalım)
-3  + 3 = 0 (Eşitliğin iki tarafını -5 ile çarpalım)
-5(-3 + 3) = -5x0 (Parantezi açalım)
(-5) x (-3) + (-5) x 3 = 0 (Daha önce bahsettiğim gibi (-5) x 3 = 3 x (-5) yani 3 tane -5 'tir = -15)
(-3) x (-5) + (-15) = 0
(-3) x (-5) = 15
 

Gördüğünüz gibi iki negatif sayı çarpımının bir pozitif sayı olduğunu basit matematiksel işlemler ile kanıtlayabildik. Peki bu işlemi nasıl anlamlandırabiliriz. Şimdiye kadar öğrendiğimiz mantık sistemi negatif iki sayının çarpımını açıklayamamaktadır. Bunun için negatif - pozitif ne olursa olsun her çarpım işlemini anlamlı hale getiren farklı bir mantık sistemine göz atmamız gerekiyor.

 

Bu sistem sayı doğrusudur.

  Eksi çarpı eksi  

Bu sistem üzerinde, sıfır noktasında durduğumuzu düşünerek 2x3 işlemini anlamlandıralım. İlk sayı pozitif olduğu için yüzümüzü + yöne çevirelim. İkinci sayı da pozitif olduğundan ileriye doğru hareket edelim. Hareket doğrultularını bulduğumuza göre (artı yöne ve ileriye) sayıların eksi veya artı olduğuna bakmadan çarpma işlemini yapalım ve kaç adım atmamız gerektiğini bulalım (Her adımda 1 birim yol katediyoruz). 2x3 = 6. Yani sonucu bulmak için artı yöne ve ileriye doğru 6 adım atmamız gerekiyor. Son bulunduğumuz yere bakarsak sonucun + 6 olduğunu görürüz.

  Eksi çarpı eksi  

-2x3 işlemini yapalım.

  Eksi çarpı eksi  

2x-3 işlemi

  Eksi çarpı eksi  

Son olarak -2x-3 işlemini yapalım.

  Eksi çarpı eksi  

Gördüğünüz gibi mantık sistemini sayı doğrusu üzerine kurarsak bütün çarpma işlemleri anlamlı hale gelmekte ve matematiksel ispatın yanında mantıksal olarak da neden negatif iki sayının çarpımı pozitiftir sorusu cevaplanabilmektedir.

 

 

 Konuyu geliştirmemize yardımcı ol, konuyu değerlendir.
%62
%13
%25

 

 Bu konuyu paylaş

 

 Yorum yaz, soru sor, geliştirme öner
E-Posta adresiniz yayınlanmayacak.

 

 Yorumlar
 Deniz
 06.07.2021
O kadar güzel ve açık anlatmışsınız ki temeli çok kötü olan ben bile anladım. Hocalar ''Bunlar sınavda çıkmayacak'' kafasıyla hiçbir konunun mantığını bize anlatmıyorlar, hatta bir matematik hocası ''Matematik formülden ibarettir'' demişti. Çok üzücü ama olsun, sizin gibi insanlar sayesinde en azından bilgilenebiliyoruz. Çok teşekkür ederim ve iyi günler diliyorum.
 Emrah (Yönetici)
 10.07.2021
Teşekkürler :)
 Serra
 27.11.2020
Bir 7. sınıf öğrencisiyim ve bu konuyu anlamakta aşırı zorluk çekiyordum. Sürekli ezberlediğim konu sizin sayenizde açıklığa kavuştu. Bu kadar güzel anlatan kimse görmemiştim. Sağolun
 Veysi Fakir
 08.12.2019
Yıllardır nedenini anlıyamadığım, sadece ezberden bildiğim bu konuyu ne de güzel anlattınız. Çok teşekkürler.
 Emrah (Yönetici)
 09.12.2019
Faydalı olabildiysem ne mutlu bana.