Negatif İki Sayının Çarpımı Neden Pozitiftir?
Okulda çarpmayı öğrenirken çarpma işleminin mantığını da öğrenmiştik. Örneğin 3 x 5 işleminin 3 tane 5 anlamına geldiği öğretilmişti (5 + 5 + 5). İlerleyen yıllarda hayatımıza negatif sayılar girdi. Fakat negatif sayı içeren çarpma işlemlerinin mantığı bize öğretilmedi. Sadece negatif sayılar ile çarpma işlemlerinin kuralları ezberletildi. pozitif x negatif = negatif, negatif x pozitif = negatif ve negatif x negatif = pozitif. Bu makalemde bu işlemlerinin mantığından ve matematiksel olarak ispatlarından bahsedeceğim.
Pozitif x Pozitif, Pozitif x Negatif
Bahsettiğim gibi 3 x 5 'in 3 tane 5 olduğunu biliyoruz. Yani pozitif iki sayının çarpımı için herhangi bir sorunumuz yok. Benzer olarak 3 x (-5) için de aynı şeyi söyleyebiliriz, 3 x (-5) = 3 tane -5 demektir. Yani pozitif ve negatif çarpımı için de bir sorunumuz yok.
Negatif x Pozitif
Peki (-3) x 5 işlemini nasıl yorumlarız? -3 tane 5 diyemeyiz. Çünkü birşeyin miktarından bahsederken asla eksi kullanmayız. Bu nedenle mantıksal olarak bu ifadenin hiçbir anlamı yoktur. Fakat işlemi çarpmanın özelliklerinden yararlanarak anlamlı hale getirebiliriz. 3 x 5 aynı zamanda 5 x 3 'tür. Yani çarpma işlemindeki rakamlar yer değiştirirse sonuç değişmez. Bu nedenle (-3) x 5 işlemi 5 x (-3) işlemine eşittir. Bu işlem için 5 tane -3 diyebiliriz. Böylece işleme mantıksal bir anlam kazandırabilir ve bu mantık doğrultusunda sonuca ulaşabiliriz.
Negatif x Negatif
(-3) x (-5) işlemini mantıksal olarak yorumlamak önceki işlemler kadar kolay değildir. Daha önce bahsettiğim gibi -3 tane -5 diyemeyiz. Rakamların yerini değiştirsek bile (-5) x (-3) işlemini elde ederiz ki sonuç değişmez fakat mantıksal olarak yine -5 tane -3 diyemeyiz. Bu nedenle ilk olarak bazı kabuller yapalım ve iki negatif sayının çarpımının pozitif bir sayı olduğunu matematiksel olarak ispatlayalım.
(-3) x (-5) işleminin yer alacağı başka bir eşitliğe bakalım.
-3 + 3 = 0 (İşlemini ele alalım)
-3 + 3 = 0 (Eşitliğin iki tarafını -5 ile çarpalım)
-5(-3 + 3) = -5x0 (Parantezi açalım)
(-5) x (-3) + (-5) x 3 = 0 (Daha önce bahsettiğim gibi (-5) x 3 = 3 x (-5) yani 3 tane -5 'tir = -15)
(-3) x (-5) + (-15) = 0
(-3) x (-5) = 15
Gördüğünüz gibi iki negatif sayı çarpımının bir pozitif sayı olduğunu basit matematiksel işlemler ile kanıtlayabildik. Peki bu işlemi nasıl anlamlandırabiliriz. Şimdiye kadar öğrendiğimiz mantık sistemi negatif iki sayının çarpımını açıklayamamaktadır. Bunun için negatif - pozitif ne olursa olsun her çarpım işlemini anlamlı hale getiren farklı bir mantık sistemine göz atmamız gerekiyor.
Bu sistem sayı doğrusudur.
Bu sistem üzerinde, sıfır noktasında durduğumuzu düşünerek 2x3 işlemini anlamlandıralım. İlk sayı pozitif olduğu için yüzümüzü + yöne çevirelim. İkinci sayı da pozitif olduğundan ileriye doğru hareket edelim. Hareket doğrultularını bulduğumuza göre (artı yöne ve ileriye) sayıların eksi veya artı olduğuna bakmadan çarpma işlemini yapalım ve kaç adım atmamız gerektiğini bulalım (Her adımda 1 birim yol katediyoruz). 2x3 = 6. Yani sonucu bulmak için artı yöne ve ileriye doğru 6 adım atmamız gerekiyor. Son bulunduğumuz yere bakarsak sonucun + 6 olduğunu görürüz.
-2x3 işlemini yapalım.
2x-3 işlemi
Son olarak -2x-3 işlemini yapalım.
Gördüğünüz gibi mantık sistemini sayı doğrusu üzerine kurarsak bütün çarpma işlemleri anlamlı hale gelmekte ve matematiksel ispatın yanında mantıksal olarak da neden negatif iki sayının çarpımı pozitiftir sorusu cevaplanabilmektedir.
- Yayın Süresi : 2636 Gün
- Konu Sayısı : 277 Bilim Konuları : 118 Teknoloji Konuları : 42 Web-Tasarım Konuları : 42 İlginçler Konuları : 63 Gezi Konuları : 12 En Popüler : Sonsuz İşlemleri 246123 Kere En Çok Yorum Alan : Logaritma Nedir, Ne İşe Yarar, Gerçek Hayatta Nerelerde Kullanılır? 19 Kere En Çok Değerlendirilen : Napier'in Kemikleri (Matematik) 151 Kere
Satrançta Piyonun Geçerken Alması Kuralı (En Passant)
En passant kuralı nedir, ne zaman uygulanır...
Işık Hızında Bağıl Hız
Işık hızında giden cisimler için bağıl hız hesaplamaları...
Newton Karantinada Neler Yaptı?
Newtonun karantina günleri ve icatları...
Çamaşır Suyu Nedir? Nasıl Temizler?
Çamaşır suyunun yapısı, kullanım alanları ve dikkat edilmesi gerekenler...
Dünyanın Yaşını Nasıl Biliyoruz?
Dünyanın yaşını hesaplama yöntemleri...
Salgın Hastalık Dereceleri : Pandemik, Epidemik, Endemik, Sporadik
Pandemik, Epidemik, Endemik, Sporadik Nedir?
Kahve Günlükleri : Kahve Çekirdeği Kavurma Dereceleri
Hafif, orta, orta-koyu, koyu kavrulmuş kahve çekirdeklerinin özellikleri ve farkları...
Kahve Günlükleri : Kahve Demleme Yöntemleri
Kahve demleme yöntemleri ve farkları...
Kahve Günlükleri : Kahve Çeşitleri ve Ölçüleri
Popüler kahve çeşitleri ve ölçüleri...
Kahve Günlükleri : Arabica ve Robusta
Arabica ve Robusta kahve çekirdekleri ve farkları...
Sayıların Sınıflandırılması (Matematik)
Matematikte sayıların sınıflandırılması : Kompleks, Sanal, Gerçek, Doğal, Rasyonel, İrrasyonel...
Websiteniz İçin Bedava Güvenlik Sertifikası (SSL Sertifikası)
Tamamen bedava güvenlik sertifikası nasıl elde edilir, nasıl yüklenir?
Wi-Fi Şifresini Görme (Windows 7 - 10)
Programsız, kodsuz wifi şifresini görme yöntemi.
Kolay Ezberleme Yöntemi : Anımsatıcılar
Kolay ezberleme yöntemlerinden anımsatıcılar : Mnemotekni
Tarayıcılarda Ön Bellek İşlemleri (Normal Yükleme - Tam Yükleme - Ön Belleği Boşaltma)
Tarayıcılarda normal yükleme ve tam yükleme ne demektir, nasıl yapılır?
Takip, Reaksiyon, Fren ve Durma Mesafesi
Reaksiyon, fren, durma ve takip mesafesi nasıl hesaplanır, bilimsel detaylar.
Bilgisayarda Müzik Nasıl Yapılır?
Sadece bilgisayar programları kullanarak gerçekçi müzik nasıl oluşturulur?
Beden Kitle İndeksi Hesaplama ve Değerlendirme
Bu uygulama ile Vücut Kitle İndeksinizi hesaplayabilir ve sonucu değerlendirebilirsiniz.
Hidrojen Peroksit (H2O2) ve Özellikleri
Hidrojen peroksit nedir, sağlık açısından ne gibi etkileri vardır?
Photoshop'ta Ortalama İşlemleri
Photoshop'ta ortalama işlemleri nasıl yapılır?
Bu kısımdan sitemizdeki gelişmelerden haberdar olabilirsiniz.
- Abonelik Sistemi kaldırıldı. 11.03.2020
- Arama Motoru Google Özel Arama olarak değiştirildi. 15.10.2019
- Yıllık sunucu bakımı tamamlandı. 04.10.2019
- Konulara kaynaklar eklendi. 10.07.2019
- SSL sertifikası eklendi. 31.05.2019
Gitar çalmayı öğrenmek, yeteneğinizi geliştirmek, popüler tab ve akorlar için gitaregitim.net sitesini ziyaret etmeyi unutmayın.