Sihirli Fasulyeler
Yükleniyor...
Sonsuz İşlemleri
 Bilim   213004   20.11.17   05.05.20   17
sonsuzluk.jpg

∞ - ∞ neden sıfıra eşit değildir? ya da ∞ / ∞ neden 1'e eşit değildir? Matematiksel olarak yanlış gibi görünen bu tür işlemler, sonsuzluk kavramının tam olarak anlaşılamamasından kaynaklanmaktadır. Bu makalemde sonsuzluk kavramının tanımlarından ve sonsuz içeren matematiksel hesaplamaların nasıl yapılacağından bahsetmek istiyorum.

 

Öncelikle sonsuz içeren bazı işlemlerin sonuçlarına göz atalım.

 

 + sayı = 

 - sayı = 

sayı - 

 = -

sayı x 

 = 

-sayı x 

 = -

-sayı x (-

) = 

 + 

 = 

 x 

 = 

 / sayı = 

sayı / 

 = 0
e

 = 

e-

 = 0
0 x 

 = Belirsiz
0 x -

 = Belirsiz

 - 

 = Belirsiz

 / 

 = Belirsiz

0 = Belirsiz
1

 = Belirsiz
 

Matematikte sonsuz kavramı hakkındaki en yaygın hata, sonsuzun sayılamayacak kadar büyük bir sayı zannedilmesidir. Fakat sonsuz, sonu belli olmayan işlemleri veya sayıları temsil eder. Çarpma, bölme, toplama, çıkarma gibi işlemlerde bazı kabuller yapılarak sonuç basitleştirilir. 10 'nu üçe bölüp sonucu 3.33'e yuvarlamamız gibi. Bu kabuller sonucu çok fazla değiştirmez. Fakat sonsuz (∞) içeren işlemler için kabuller yapılamaz. Çünkü sonsuzun matematiksel işlemleri farklı sonuçlara sahip olabilir.

   

İşlemlerde birden fazla sonsuz varsa bu sonsuzların birbirine eşit olup olmadığını bilemeyiz. Örneğin aşağıdaki işlemlerin sonuçları sonsuzdur.

 
1+1+1+1+1+.......... = ∞
9x9x9x9x9x.......... = ∞
 

İşlemlerin sonuçlarını bilmiyoruz. Sadece toplama ve çarpma işlemlerinin sonsuza kadar gittiğini biliyoruz. Bu nedenle sonuç sonsuzdur diyebiliyoruz. Ayrıca işlemlerin sonucu olan iki sonsuzun birbirine eşit olup olmadığını da bilmiyoruz. Eşit olsaydı 1+1+1+... = 9x9x9x... olurdu. Yani eğer bir işlemde birden fazla sonsuz varsa bu sonsuzların birbirine eşit olup olmadığını bilemeyiz. Bu nedenle örneğin sonsuz - sonsuz işleminin sonucu sıfır değildir. Benzer olarak sonsuz / sonsuz işleminin sonucu da 1 değildir.

 

Pek çok sonsuz işleminde sonsuzu sonu olmayan bir sayı olarak düşünürsek sonuca kolaylıkla ulaşabiliriz. Örneğin sonsuz + 1 işleminin sonucu sonsuzdur. Çünkü sonu belli olmayan bir sayıya 1 eklersek yine sonu belli olmayan bir sayı elde ederiz. Benzer olarak sonsuz + sonsuz işleminin de sonucu sonsuzdur. Çünkü sonu belli olmayan iki sayıyı toplarsak sonu belli olmayan bir sayı elde ederiz.

 

Sonsuzluk kavramını biraz anladıysak sonsuzluk işlemlerimize ve ispatlarımıza geçebiliriz.

   

Matematiksel olarak bir sayıyı kendisinden çıkarırsak sıfır kalır. Fakat yukarıda da bahsettiğim gibi sonsuz - sonsuz işlemindeki sonsuzlar birbirlerine eşit mi değil mi sorularının cevaplarını bilmiyoruz. Sonsuzların bir sayısal değere sahip ve birbirine eşit büyük bir sayı olduğunu varsayarsak ne gibi hataların oluşacağını görelim. Bu varsayımımıza göre ∞ - ∞ sonucu sıfır olacaktır. Eşitliğin her tarafına 1 eklersek,

 
∞ - ∞ = 0
∞ - ∞ + 1 = 0 + 1
∞ + 1 - ∞  =  1
 

Daha önce bahsettiğim gibi sonu belli olmayan bir sayı ile 1'i toplarsak, yine sonu belirli olmayan bir sayı elde ederiz. Yani sonsuz ile 1'in toplamı yine sonsuzdur. O halde,

 

(∞  + 1) - ∞ =  1  
∞ - ∞ = 1 olacaktır!
 

sonsuz eksi sonsuz eşitliğinin her tarafına farklı sayılar eklersek, her defasında sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu değişecektir. Bu yüzden sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu "belirsizdir". Sonucu belirsiz olan işlemlere başka bir örnek verelim,

   

Bu belirsizlik için de bir önceki örnekte olduğu gibi sonsuz / sonuz = 1 varsayımını yapıp, hatalarımızı görebiliriz. Öncelikle şunu belirteyim, sonsuz + sonsuz = sonsuz'dur. Çünkü sonu belirli olmayan iki sayının toplamı, yine sonu belirli olmayan bir sayı olacaktır.

 
∞ / ∞ = 1 ( ∞ = ∞ + ∞  olduğuna göre)
(∞ + ∞) / ∞  = 1 (Matematikte (a + a) / a ifadesini (a / a) + (a / a) şeklinde yazabildiğimize göre)
(∞ / ∞) + (∞ / ∞) = 1 (∞ / ∞ = 1 varsayımında bulunduğumuza göre)
1 + 1 = 1
2 = 1
veya
∞ / ∞ = 1 (∞ + ∞  + ∞ = ∞ olduğuna göre)
∞ + ∞ + ∞ / ∞ = 1
∞/∞ + ∞/∞ +  ∞/∞ = 1 
1 + 1 + 1 = 1 
3 = 1 olacaktır.
 

Yine varsayımımızda pekçok hatalarla karşılaşıyoruz. Bu yüzden sonsuz / sonsuz işlemi de belirsizdir. Çünkü işlemde yer alan sonsuzların belirli bir değerleri yoktur, yani birbirine eşit sayılar olup olmadığını bilmiyoruz.

   

Sonsuz işlemlerinin yapılabilmesi için matematikte limit işleminden yararlanır. Limit işlemi kesin rakamlar yerine yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder.

 

Örneğin y = 1 / x fonksiyonuna göz atalım (x>0). X'in sonsuz değeri için fonksiyonumuz y = 1 / ∞ şeklini alacaktır. Bu nedenle fonksiyonumuzun limit değeri sıfırdır. Çünkü x yerine 1,2,3,4,5..... sayıları koyarsak, yani x'in aşamalı şekilde sonsuza yaklaştığını düşünürsek, her x değeri için bir y değerimiz olur.

 
y = 1 / x fonksiyonu için (X>0)
x=1 ise y=1
x=2 ise y=0.50
x=3 ise y=0.33
x=4 ise y=0.25
x=5 ise y=0.20
.
x=100000 ise y=0.00001
 

X değeri arttıkça Y değeri küçülür ve X sonsuza yaklaştıkça, Y değeri de sıfıra yaklaşır. Limit işlemi, bu yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder. Yani fonksiyonun x=∞ için limiti sıfırdır. Fonksiyonumuzun grafiği aşağıdaki gibi görünür. (X ne kadar artarsa, Y o kadar sıfıra yaklaşır.)

  1/x Fonsiyonu    

Belkide en kafa karıştıran sonsuz işlemlerinden bir tanesi 1'un Belirsiz olmasıdır. Bu işlem 1x1x1x1x1x..... çarpımlarının sonsuza kadar devam ettiğini gösterir. İlk bakışta "Çarpma işlemi ister 100 tane, ister 10 milyon tane, isterse sonsuz tane olsun, 1'i 1 ile çarparsak sonuç daima 1'dir. Bu nedenle 1 işleminin sonucu 1'dir" diye düşünebiliriz. Bu mantık hatalı değildir. Ancak 1 için öyle bir durum vardır ki sonucun belirsiz olmasına neden olmuştur. Basit limit işlemleri ile bu durumu görelim.

 

İki fonksiyonumuz olsun f(x) ve g(x). Bu fonksiyonlarımız da aşağıdaki gibi olsun.

 
f(x) = 1 +  1 / x
g(x) = x
 

Bu fonksiyonlar için x=∞ ise,

 
limx→∞f(x)
limx→∞ ( 1  + 1  / ∞ ) 
limx→∞ ( 1  + 0 )
limx→∞ ( 1 ) = 1 
ve
limx→∞g(x)
limx→∞ x = ∞
 

sonuçlarını elde ederiz. Yani 1'a ulaşmak için f(x)g(x) işlemini (x=∞ için) kullanabiliriz. Çünkü yukarıdaki görüldüğü gibi x=∞ için f(x)=1 ve g(x)=∞ 'dur.

 

Artık 1 sonucuna elde ettiğimiz formül ile (f(x)g(x)) ulaşabiliriz.

 
limx→∞f(x)g(x)
limx→∞(1+1/x)x
 

Yukarıda grafikle anlattığım gibi x=∞ için 1/x sonucu sıfırdır. Yani elimizde limx→∞(1)x limiti kalır ki sonuç 1'dir. Fakat

 
limx→∞(1+1/x)x
 

Yukarıdaki limit işlemi aynı zamanda matematikte özel bir sayısının ifadesidir. Bu sayı Euler Sayısı'dır (e). Euler sayısı yaklaşık olarak 2.718281 değerine sahiptir. Şimdi limit işlemine yeniden bakarsak

 
limx→∞(1+1/x)x = e = 2.718281
 

değerine ulaşırız. Gördüğünüz gibi 1 için 2 farklı sonuca ulaştık. İşte bu nedenle 1 belirsizdir.

 
limx→∞(1+1/x)x = 1
limx→∞(1+1/x)x = e = 2.718281
 

 

 Konuyu geliştirmemize yardımcı ol, konuyu değerlendir.
%65
%8
%10
%17

 

 Bu konuyu paylaş

 

 Yorum yaz, soru sor, geliştirme öner
E-Posta adresiniz yayınlanmayacak.

 

 Yorumlar
 amsiken
 19.01.2024
sayı/-∞ işleminin cevabını bulamadım yardımcı olur musunuz hocam
 AdigeWeb
 04.11.2023
Birçok sorumu cevapladı bu yazı. Teşekkür ederim.
 bilgin
 11.12.2021
bence sonsuzluk eksi sonsuzluk 0dır çünkü sonsuzluk aynı sembol olduğu için bir sayıdan kendisini çıkarırsak 0 olmalı
 sıfır
 23.01.2023
Sonsuz-sonsuz sıfır etmez çünkü düz değildir hangi yöne nasıl sonsuza uzandığı belirsizdir. Açısal olarak aynı olmayabilirler. Aynı sembolle gösterilmesi aynı olduklarını göstermez. 1 tane 2 tane sıfat. sonsuz tane anlatım bozukluğudur. Dilin kendisi bile kabul etmiyor. Matematik ve dil bilgisi benzerdir.
 Kemal
 05.05.2023
Sonsuz ifadesi semboliktir yani sayılamayan sayılar için kullanılan bir ifadedir iki sayılamayan sonsuz sayıdaki değerlerin birbirinden çıkarılma ifadesi eşit olma ihtimali olasılığı az oldugundan 0 olamaz farklı olması durumunda sonsuzda olamaz dolayısı ile matematiksel olarak belirsiz olarak tanım gereği kabul edilmiştir
 Matematiği Sevmeyen Ama Matematikte Başarılı Çocuk
 21.11.2021
Eksik olan bir şey: 2÷0=Sonsuz (Tabletimin hesap makinesinde böyleydi sizde farklı çıkarsa napiim?!)
 Emrah (Yönetici)
 23.11.2021
Sayı / 0 = Belirsizdir. Haklısınız bazı hesap makinelerinde sayı / 0 = sonsuz çıkar (Google online hesap makinesi dahil) Basitçe şöyle açıklayayım. 10'u 5'e böldüğümüzde sonuç 2 çıkar ve bu bize 10'un içinde kaç tane 5 olduğunu gösterir. Bu mantıkla 10'u 0'a böldüğümüzde sonuç 10'un içinde kaç tane sıfır olduğunu göstermelidir. 10'un içinde kaç tane sıfır vardır? 10, 100, 1000, sonsuz? Cevabı bilmiyoruz bu nedenle sayı/0 belirsizdir. Bu hesap makineleri sonsuzu çok çok büyük bir sayı olduğunu kabul ettikleri için sonsuz sonucunu verebilmektedir.
 ANONİM
 30.12.2020
çok güzel olmuş ama 0*sonsuz neden belirsiz anlamadım sıfır çarpmada yutan elaman değilmi?
 Emrah (Yönetici)
 03.01.2021
Hatalı yaklaşım yaparak sonuca ulaşmaya çalışalım. 0*Sonsuz = 0 olsaydı, Sonsuz = 0/0 eşitliği oluşurdu ki 0/0 belirsizdir. Yani Sonsuz = Belirsiz sonucuna ulaşırdık. Bu nedenle 0*Sonsuz belirsizdir diyebiliriz.
 hira
 16.10.2020
bence pek açıklayıcı olmamış ben pek bişey anlamadım
 ahmet
 30.03.2020
Ben pek birşey anlayamadım ama anlasa anlasa bilim adamları anlar Çok başarılı bir yazı ???? Bravo
 dr.mf
 24.12.2019
Çok teşekkürler açıklayıcı bir yazı olmuş
 Emrah (Yönetici)
 24.12.2019
Yararlı olabildiysek ne mutlu.
 ali
 13.08.2019
Alttan 3.resimde 3=1 yazıyor matematiğin *** 3 nasıl 1e eşit olabilir ***
 Emrah (Yönetici)
 13.08.2019
Sadece resimlere bakmaz makaleyi okursanız anlarsınız neden öyle olduğunu. Küfürlü kısımlarınız da yorumunuzdan silinmiştir.
 salames
 30.03.2020
Küfür kullanmayalım
 Liseli
 06.01.2019
Çok başarılı anlatım