Sihirli Fasulyeler
Yükleniyor...
Sonsuz İşlemleri
 Bilim   5571   20.11.2017   3
sonsuzluk.jpg

∞ - ∞ neden sıfıra eşit değildir? ya da ∞ / ∞ neden 1'e eşit değildir? Matematiksel olarak yanlış gibi görünen bu tür işlemler, sonsuzluk kavramının tam olarak anlaşılamamasından kaynaklanmaktadır. Bu makalemde sonsuzluk kavramının tanımlarından ve sonsuz içeren matematiksel hesaplamaların nasıl yapılacağından bahsetmek istiyorum.

 

Sonsuzluk, herhangi bir sınırı olmayan soyut bir kavramdır. Matematikte bu kavram, sonu olmayan, belirsiz bir sayıyı temsil eder. Çarpma, bölme, toplama, çıkarma gibi işlemlerde bazı kabuller yapılarak sonsuzluk kavramı basitleştirilir. 10 'nu üçe bölüp sonucu 3.33'e yuvarlamamız gibi. Bu kabuller sonucu çok fazla değiştirmez. Fakat sonsuz (∞) içeren işlemler için kabuller yapılamaz. Çünkü sonsuzun matematiksel işlemleri farklı sonuçlara sahip olabilir. Örneğin bütün pozitif çift sayıları toplarsak sonuç sonsuzdur. Bütün pozitif tek sayıları toplarsak da sonuç sonsuzdur. Çünkü sonuç belli bir sayı değil, sonu olmayan, belirsiz bir sayıdır.

 
2+4+6+8+10+.......... = ∞
1+3+5+7+9+.......... = ∞
 

Bu iki serisinin sonucunu bilmiyoruz. Sadece bu işlemlerin sonsuza kadar gittiğini biliyoruz. Bu nedenle sonuç sonsuzdur diyebiliyoruz.

 

Sonsuzluk kavramını biraz anladıysak sonsuzluk işlemlerimize geçebiliriz.

 
∞ - ∞ = Belirsiz
 

Matematiksel olarak bir sayıyı kendisinden çıkarırsak sıfır kalır. Fakat yukarıda da bahsettiğim gibi sonsuz belirli bir sayı değildir. Yani işlemdeki sonsuzların değerini bilmiyoruz. Sonsuzların bir sayısal değere sahip olduğunu ve birbirine eşit olduğunu varsayarsak ne gibi hataların oluşacağını görelim. Bu varsayımın sonucu sıfır çıkacaktır. Eşitliğin her tarafına 1 eklersek,

 
∞ - ∞ = 0
∞ - ∞ + 1 = 0 + 1
∞ - ∞ + 1 =  1
 

Sonu belirli olmayan bir sayı ile 1'i toplarsak, yine sonu belirli olmayan bir sayı elde ederiz. Yani sonsuz ile 1'in toplamı yine sonsuzdur. O halde,

 
∞ - ∞ + 1 =  1 
(∞  + 1) - ∞ =  1  
∞ - ∞ = 1 olacaktır!
 

sonsuz eksi sonsuz eşitliğinin her tarafına farklı sayılar eklersek, her defasında sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu değişecektir. Bu yüzden sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu "belirsizdir". Sonucu belirsiz olan işlemlere başka bir örnek verelim,

 
∞ / ∞ = Belirsiz
 

Bu belirsizlik için de bir önceki örnekte olduğu gibi sonsuz/sonuz = 1 varsayımını yapıp, hatalarımızı görebiliriz. Öncelikle şunu söyleyeyim, sonsuz + sonsuz = sonsuz'dur. Çünkü sonu belirli olmayan iki sayının toplamı, yine sonu belirli olmayan bir sayı olacaktır.

 
∞ / ∞ = 1 (∞ + ∞ = ∞ olduğuna göre)
∞ + ∞ / ∞  = 1
2(∞ / ∞) = 1 
2 = 1
veya
∞ / ∞ = 1 (∞ + ∞  + ∞ = ∞ olduğuna göre)
∞ + ∞ + ∞ / ∞ = 1
3(∞/∞) = 1 
3 = 1 olacaktır.
 

Yine varsayımımızda pekçok hatalarla karşılaşıyoruz. Bu yüzden sonsuz/sonsuz işlemi de belirsizdir. Çünkü işlemde yer alan sonsuzların belirli bir değerleri yoktur, yani birbirine eşit sayılar olup olmadığını bilmiyoruz. Bazı sonsuz işlemlerini ve sonuçlarını yazalım.

 
∞ + sayı = ∞ 
∞ - sayı = ∞
sayı - ∞ = -∞ 
sayı x ∞ = ∞ 
negatif sayı x ∞ = -∞ 
negatif sayı x (-∞) = ∞ 
∞ + ∞ = ∞  
∞ x ∞ = ∞  
 

Sonucu belirsiz olan sonsuz işlemleri

 
0 x ∞  
0 x -∞  
∞ - ∞  
∞ / ∞
∞ üzeri 0
1 üzeri ∞
 

Sonsuz işlemlerinin yapılabilmesi için matematikte limit işleminden yararlanır. Limit işlemi kesin işlemler yerine yaklaşım işlemleri yapar. Örneğin y = 1/x fonksiyonuna göz atalım. X'in sonsuz değeri için fonksiyonumuzun limit değeri sıfırdır. x yerine 1,2,3,4,5..... sayıları koyarsak, yani x'in aşamalı şekilde sonsuza yaklaştığını düşünürsek, her x değeri için bir y değerimiz olur. X değeri arttıkça Y değeri küçülür ve X sonsuza yaklaştıkça, Y değeri sıfıra yaklaşır. Limit işlemi, bu yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder. Yani fonksiyonun limiti sıfırdır. Fonksiyonumuzun grafiği aşağıdaki gibi görünür. (X ne kadar artarsa, Y o kadar sıfıra yaklaşır.)

  1/x Fonsiyonu  

 

 Bu konuyu paylaş

 

 Konuyu geliştirmemize yardımcı ol, konuyu değerlendir.
%100

 

 Yorum yaz, soru sor, geliştirme öner
E-Posta adresiniz yayınlanmayacak.

 

 Yorumlar
 ali
 13.08.2019
Alttan 3.resimde 3=1 yazıyor matematiğin *** 3 nasıl 1e eşit olabilir ***
 Emrah (Yönetici)
 13.08.2019
Sadece resimlere bakmaz makaleyi okursanız anlarsınız neden öyle olduğunu. Küfürlü kısımlarınız da yorumunuzdan silinmiştir.
 Liseli
 06.01.2019
Çok başarılı anlatım