Sihirli Fasulyeler
Yükleniyor...
Sonsuz İşlemleri
 Bilim   12237   20.11.17   07.11.19   3
sonsuzluk.jpg

∞ - ∞ neden sıfıra eşit değildir? ya da ∞ / ∞ neden 1'e eşit değildir? Matematiksel olarak yanlış gibi görünen bu tür işlemler, sonsuzluk kavramının tam olarak anlaşılamamasından kaynaklanmaktadır. Bu makalemde sonsuzluk kavramının tanımlarından ve sonsuz içeren matematiksel hesaplamaların nasıl yapılacağından bahsetmek istiyorum.

 

Öncelikle sonsuz içeren bazı işlemlerin sonuçlarına göz atalım.

 

 + sayı = 

 - sayı = 

sayı - 

 = -

sayı x 

 = 

-sayı x 

 = -

-sayı x (-

) = 

 + 

 = 

 x 

 = 

 / sayı = 

sayı / 

 = 0
e

 = 

e-

 = 0
0 x 

 = Belirsiz
0 x -

 = Belirsiz

 - 

 = Belirsiz

 / 

 = Belirsiz

0 = Belirsiz
1

 = Belirsiz
 

Matematikte sonsuz kavramı hakkındaki en yaygın hata, sonsuzun sayılamayacak kadar büyük bir sayı zannedilmesidir. Fakat sonsuz, sınırı olmayan soyut bir kavramdır. Matematikte bu kavram, sonu belli olmayan işlemleri temsil eder. Çarpma, bölme, toplama, çıkarma gibi işlemlerde bazı kabuller yapılarak sonsuzluk kavramı basitleştirilir. 10 'nu üçe bölüp sonucu 3.33'e yuvarlamamız gibi. Bu kabuller sonucu çok fazla değiştirmez. Fakat sonsuz (∞) içeren işlemler için kabuller yapılamaz. Çünkü sonsuzun matematiksel işlemleri farklı sonuçlara sahip olabilir. Örneğin aşağıdaki işlemlerin sonucu sonsuz olarak değerlendirilir.

 
1+1+1+1+1+.......... = ∞
9+9+9+9+9+.......... = ∞
 

Çünkü bu işlemlerin belirli bir sonucu yoktur, toplama işlemi sonsuza kadar devam etmektedir. Hiçbir zaman bu iki toplamın kesin bir sonucu olmayacaktır. Çünkü matematikteki sayıların bir sınırı yoktur. İşte bu durumu kavramak ve anlamak için sonuç sonsuzdur diyebiliyoruz.

 

Sonsuzluk kavramını biraz anladıysak sonsuzluk işlemlerimize geçebiliriz.

   

Matematiksel olarak bir sayıyı kendisinden çıkarırsak sıfır kalır. Fakat yukarıda da bahsettiğim gibi sonsuz sayılamayacak kadar büyük, belirli bir sayı değildir. Öyle olsaydı yukarıdaki 1+1+1+1+1+.......... = ∞, 9+9+9+9+9+.......... = ∞ işlemlerinin sonucu birbirine eşit olurdu. Bu nedenle bu sonsuzların birbirlerine eşit mi, değil mi sorularının cevaplarını da bilmiyoruz. Sonsuzların bir sayısal değere sahip ve birbirine eşit büyük bir sayı olduğunu varsayarsak ne gibi hataların oluşacağını görelim. Bu varsayımımıza göre ∞ - ∞ sonucu sıfır olacaktır. Eşitliğin her tarafına 1 eklersek,

 
∞ - ∞ = 0
∞ - ∞ + 1 = 0 + 1
∞ + 1 - ∞  =  1
 

Sonu belirli olmayan bir sayı ile 1'i toplarsak, yine sonu belirli olmayan bir sayı elde ederiz. Yani sonsuz ile 1'in toplamı yine sonsuzdur. O halde,

 

(∞  + 1) - ∞ =  1  
∞ - ∞ = 1 olacaktır!
 

sonsuz eksi sonsuz eşitliğinin her tarafına farklı sayılar eklersek, her defasında sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu değişecektir. Bu yüzden sonsuz eksi sonsuz işleminin sonucu "belirsizdir". Sonucu belirsiz olan işlemlere başka bir örnek verelim,

   

Bu belirsizlik için de bir önceki örnekte olduğu gibi sonsuz / sonuz = 1 varsayımını yapıp, hatalarımızı görebiliriz. Öncelikle şunu belirteyim, sonsuz + sonsuz = sonsuz'dur. Çünkü sonu belirli olmayan iki sayının toplamı, yine sonu belirli olmayan bir sayı olacaktır.

 
∞ / ∞ = 1 ( ∞ = ∞ + ∞  olduğuna göre)
(∞ + ∞) / ∞  = 1 (Matematikte (a + a) / a ifadesini (a / a) + (a / a) şeklinde yazabildiğimize göre)
(∞ / ∞) + (∞ / ∞) = 1 (∞ / ∞ = 1 varsayımında bulunduğumuza göre)
1 + 1 = 1
2 = 1
veya
∞ / ∞ = 1 (∞ + ∞  + ∞ = ∞ olduğuna göre)
∞ + ∞ + ∞ / ∞ = 1
∞/∞ + ∞/∞ +  ∞/∞ = 1 
1 + 1 + 1 = 1 
3 = 1 olacaktır.
 

Yine varsayımımızda pekçok hatalarla karşılaşıyoruz. Bu yüzden sonsuz / sonsuz işlemi de belirsizdir. Çünkü işlemde yer alan sonsuzların belirli bir değerleri yoktur, yani birbirine eşit sayılar olup olmadığını bilmiyoruz.

   

Sonsuz işlemlerinin yapılabilmesi için matematikte limit işleminden yararlanır. Limit işlemi kesin rakamlar yerine yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder.

 

Örneğin y = 1 / x fonksiyonuna göz atalım (x>0). X'in sonsuz değeri için fonksiyonumuz y = 1 / ∞ şeklini alacaktır. Bu nedenle fonksiyonumuzun limit değeri sıfırdır. Çünkü x yerine 1,2,3,4,5..... sayıları koyarsak, yani x'in aşamalı şekilde sonsuza yaklaştığını düşünürsek, her x değeri için bir y değerimiz olur.

 
y = 1 / x fonksiyonu için (X>0)
x=1 ise y=1
x=2 ise y=0.50
x=3 ise y=0.33
x=4 ise y=0.25
x=5 ise y=0.20
.
x=100000 ise y=0.00001
 

X değeri arttıkça Y değeri küçülür ve X sonsuza yaklaştıkça, Y değeri de sıfıra yaklaşır. Limit işlemi, bu yaklaşılan değeri sonuç olarak kabul eder. Yani fonksiyonun x=∞ için limiti sıfırdır. Fonksiyonumuzun grafiği aşağıdaki gibi görünür. (X ne kadar artarsa, Y o kadar sıfıra yaklaşır.)

  1/x Fonsiyonu    

Belkide en kafa karıştıran sonsuz işlemlerinden bir tanesi 1'un Belirsiz olmasıdır. Bu işlem 1x1x1x1x1x..... çarpımlarının sonsuza kadar devam ettiğini gösterir. İlk bakışta "Çarpma işlemi ister 100 tane, ister 10 milyon tane, isterse sonsuz tane olsun, 1'i 1 ile çarparsak sonuç daima 1'dir. Bu nedenle 1 işleminin sonucu 1'dir" diye düşünebiliriz. Bu mantık hatalı değildir. Ancak 1 için öyle bir durum vardır ki sonucun belirsiz olmasına neden olmuştur. Basit limit işlemleri ile bu durumu görelim.

 

İki fonksiyonumuz olsun f(x) ve g(x). Bu fonksiyonlarımız da aşağıdaki gibi olsun.

 
f(x) = 1 +  1 / x
g(x) = x
 

Bu fonksiyonlar için x=∞ ise,

 
limx→∞f(x)
limx→∞ ( 1  + 1  / ∞ ) 
limx→∞ ( 1  + 0 )
limx→∞ ( 1 ) = 1 
ve
limx→∞g(x)
limx→∞ x = ∞
 

sonuçlarını elde ederiz. Yani 1'a ulaşmak için f(x)g(x) işlemini (x=∞ için) kullanabiliriz. Çünkü yukarıdaki görüldüğü gibi x=∞ için f(x)=1 ve g(x)=∞ 'dur.

 

Artık 1 sonucuna elde ettiğimiz formül ile (f(x)g(x)) ulaşabiliriz.

 
limx→∞f(x)g(x)
limx→∞(1+1/x)x
 

Yukarıda grafikle anlattığım gibi x=∞ için 1/x sonucu sıfırdır. Yani elimizde limx→∞(1)x limiti kalır ki sonuç 1'dir. Fakat

 
limx→∞(1+1/x)x
 

Yukarıdaki limit işlemi aynı zamanda matematikte özel bir sayısının ifadesidir. Bu sayı Euler Sayısı'dır (e). Euler sayısı yaklaşık olarak 2.718281 değerine sahiptir. Şimdi limit işlemine yeniden bakarsak

 
limx→∞(1+1/x)x = e = 2.718281
 

değerine ulaşırız. Gördüğünüz gibi 1 için 2 farklı sonuca ulaştık. İşte bu nedenle 1 belirsizdir.

 
limx→∞(1+1/x)x = 1
limx→∞(1+1/x)x = e = 2.718281
 

 

 Bu konuyu paylaş

 

 Konuyu geliştirmemize yardımcı ol, konuyu değerlendir.
%45
%8
%8
%39

 

 Yorum yaz, soru sor, geliştirme öner
E-Posta adresiniz yayınlanmayacak.

 

 Yorumlar
 ali
 13.08.2019
Alttan 3.resimde 3=1 yazıyor matematiğin *** 3 nasıl 1e eşit olabilir ***
 Emrah (Yönetici)
 13.08.2019
Sadece resimlere bakmaz makaleyi okursanız anlarsınız neden öyle olduğunu. Küfürlü kısımlarınız da yorumunuzdan silinmiştir.
 Liseli
 06.01.2019
Çok başarılı anlatım